ショートカットを使わずにWebサイトのアイコンを変えられますか？

作成したページをSafariで開き、「ホーム画面に追加」から追加します。ショートカットの実行画面を経由せず、設定したURLを直接開けます。

Webサイトへの入口を作る方法なので、端末内のネイティブアプリのアイコン変更とは用途が異なります。